Das Quadrat einer Zahl ist das Produkt der Zahl mit sich selbst: $ 5^2 = 5\cdot5 = 25 $.
Aber für negative Zahlen ist das Quadrat das gleiche wie für die positiven: $ -5^2 = (-5)\cdot(-5) = 25 $
und das Quadrat einer Zahl ist immer positiv.
Mit Quadraten rechnet man so:
$ (a^2) \cdot (b^2) = (a\cdot b)^2 $ , also ist z.B.:
$ 10^2 = ^(2\cdot5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 $ denn
$ 10^2 = 10 \cdot 10 = 2\cdot5 \cdot 2\cdot5 = 2\cdot2 \cdot 5\cdot5 = 2^2 \cdot 5^2 $
Das Ziehen der Wurzel (Radizieren) ist die Umkerhung des Quadrierens.
$ \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 oder -5 $
Man sucht also die Zahl oder Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 25 ergibt bzw. ergeben.
Da das Ergebnis der Wurzel positiv oder negativ sein kann wird vereinbart, dass mit $ \sqrt{a} $ immer das positive Ergebnis gemeint ist. Also $ \sqrt{9} = 3 $ . Wenn das negative Ergebnis gemeint ist, schreibt man $ -\sqrt{9} = -3 $
Bei der Potenzschreibweise schreibt man:
Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte in die Wurzel eingesetzt, also unter die Wurzel geschrieben werden können.
Da das Quadrat einer Zahl immer positiv ist, kann man die Quadratwurzel auch nur aus positiven Zahlen ziehen. Also muss der Ausdruck unter der Wurzel
immer größer oder gleich Null sein:
Für $ \sqrt{x} $ , muss: $ x \geq 0 $ sein.
Also muss für $ \sqrt{x-3}, x \geq 3 $ sein.
Den Definitionsbereich gibt man als Menge an, und schreibt:
Für Quadrate ist $ 2^2 \cdot 5^2 = (2\cdot5)^2 $ .
Deshalb kann man mit Wurzeln genau so rechnen:
Man kann die Wurzel also auch zum Teil ziehen: